De mulți ani, principalele critici la adresa educației matematice în România sunt despre conținuturi abstracte, evaluări șablonizate, programă mai avansată decât în multe alte țări europene și orar plin. Consecințele au însemnat promovabilitate scăzută la testele naționale, în ciuda subiectelor din ce în ce mai simple, iar la nivel european, dezastru în testele PISA. 

Analfabetismul funcțional merge mână în mână cu aversiunea puternică față de matematică și științe și ajunge până la anxietate în rândul elevilor. Mai departe, refulează în pseudoștiința și conspiraționismul pe care viitorul adult le promovează.

Orice sistem educațional se sprijină pe programe școlare și manuale, în baza cărora profesorii prezintă lecțiile, cu grade diferite de flexibilitate. Implicarea și abordarea pedagogică a fiecărui dascăl sunt greu de cuantificat, însă numitorul lor comun este conținutul curriculei și al manualelor. În învățământul obligatoriu și în perspectiva examenelor naționale, aceste documente nu doar ghidează, ci aproape impun conținuturile educaționale. În plus, dacă programele publicate de Ministerul Educației sunt, mai degrabă, documente metodologice și reglementări, conținutul manualelor înseamnă implementarea acestora, cu atenție la capitolele de studiat și, pe cât posibil, adaptare a dificultății la nivelul așteptat sau urmărit al elevilor.

Lucrez cu elevi din România și din străinătate de mai mulți ani, atât pentru îmbunătățirea situației școlare, cât și pentru examene naționale. Am observat constant diferențe care adaugă context, dacă nu și cauzalitate problemelor pe care le cunoaștem din școlile noastre. Mă opresc în continuare la o discuție comparativă dintre manualele din Germania și Franța și cele din țara noastră.

Nu intru în discuții politice sau metodologice, care privesc legislația învățământului, programa analitică, selecția manualelor sau organizarea examenelor naționale, din motive de amploare. În plus, cred că, indiferent de situația administrativă, manualele sunt exemplul concret de implementare a politicilor educaționale publice, iar învățământul obligatoriu se sprijină pe ele ca suport de lecție și exercițiu.

Manualele pe care le-am ales ca exemple nu au fost selecționate după vreun criteriu, așa că nu resping ideea că există diferențe, poate chiar majore, între edituri sau (colectiv de) autori. În același timp, cred că remarcile comparative pe care le voi face sunt îndreptățite, chiar dacă eșantionul nu este reprezentativ.

Decalajul de conținut și comunicarea grafică

Primul lucru pe care îl observi, indiferent de manualul pe care îl deschizi, este decalajul subiectelor studiate. De aceea, îmi va fi imposibil să compar conținuturile manualelor din același an de studiu din România și alte țări europene, pentru că majoritatea capitolelor care apar în anul de studiu N în Germania sau Franța, la noi în țară se studiază în anul N-3 sau chiar mai devreme. E limpede, încă de la început, unul dintre motivele pentru care lecțiile din țara noastră sunt văzute (și) ca (foarte) dificile.

De exemplu, regulile de calcul cu puteri raționale (radicali) le-am găsit în manuale românești de clasa a șaptea,

în timp ce în Germania apar în manualul clasei a unsprezecea.

O implicație a acestui decalaj este că matematica studiată în România conține cel puțin doi, dacă nu trei ani de studiu amănunțit al unor noțiuni ce intră în programa universitară în alte țări europene. De exemplu, câteva elemente de analiză matematică precum derivarea și integrarea funcțiilor reale apar și în manualele din Germania, dar nivelul de dificultate și de profunzime a abordării diferă cu mult față de țara noastră.

Comparația arată un lucru interesant și când ne uităm strict din punct de vedere grafic. Manualele de gimnaziu din România conțin multe elemente grafice colorate, la propriu și la figurat, chenare prin care se delimitează esențialul din lecții sau indicații de rezolvare, precum și imagini care însoțesc probleme cu inspirație practică și concepte teoretice relevante.

Manualul corespunzător ca noțiuni din Germania este cel de clasa a unsprezecea. Nici de aici nu lipsesc elementele grafice, chiar dacă nu sunt la fel de colorate precum cele din România.

Dar apoi, multe dintre manualele de liceu din România sunt monocrome și cu rare elemente grafice care să contribuie la comunicare. Apar chenare pentru unele teoreme, câteva elemente biografice pentru unii matematicieni, dar exercițiile și prezentarea teoretică sunt mult mai sobre.

Ce urmează după exercițiile simple?

Dacă citești cu atenție atât teoria, cât și exercițiile, o să vezi că diferențele vizuale sunt relevante și în ce privește conținuturile. În manualele românești de gimnaziu, găsești multe exerciții cu inspirație practică sau, cel puțin, puse într-un context de viață (aproximativ) reală. Chiar și explicațiile teoretice apar, uneori, sub forma unui dialog sau a unei prezentări mai accesibile.

E valabil și pentru manualele din Germania și Franța, cu decalajul corespunzător. De exemplu, într-un manual de clasa a unsprezecea din Germania găsești multe exerciții care pornesc de la sondaje de opinie, studii de piață sau indicatori de performanță din industrie ca să justifice introducerea conceptului de funcție (corespondență funcțională).

Mai mult, în manualul francez, apare o secțiune specială de „lucrări practice”, chiar și când este vorba despre studiul funcției de gradul al doilea.

De cealaltă parte, dacă păstrăm conținutul — studiul funcțiilor și, în particular, cel al funcțiilor de gradul al doilea —, manualele românești sunt pline de exerciții abstracte, în care singurul element grafic este reprezentarea parabolei asociate.

În general, evoluția gradului de dificultate a exercițiilor seamănă. Atât manualele românești, cât și cele din străinătate încep cu exerciții foarte simple, de aplicare a formulelor de calcul sau care să necesite minime raționamente. Dacă e să remarc și aici o mică diferență, aș spune că exercițiile simple, repetitive se termină mai repede în manualele din țara noastră, în timp ce manualul din Germania, de exemplu, crește foarte lent gradul de dificultate, deci găsești mai multe exerciții „banale”, elementare.

Însă pasul următor, de după exercițiile standard, arată încă o diferență semnificativă. Exercițiile de dificultate medie sau ridicată, uneori încadrate explicit la secțiuni de „aprofundare” sau „dezvoltare” în țara noastră, sunt, de cele mai multe ori, puternic abstractizate. La același capitol al funcției de gradul al doilea, de exemplu, după simple calcule imediate, manualul din România continuă cu exerciții ca acestea.

Situația arată complet diferit în manualele din Franța și Germania, unde pasul următor din punctul de vedere al complexității și dificultății este sub formă de exerciții practice sau „cu text” — ceea ce în educația din România poartă numele de „probleme”, spre a le deosebi de „exerciții”, pur computaționale. Elevul are de extras mai întâi conținutul matematic abstract dintr-o situație apropiată de realitate, pe baza noțiunilor studiate în capitolul curent, apoi să afle necunoscutele.

Contextul problemelor

Merită să discutăm puțin această diferență, pentru că este una dintre cele mai importante și în strânsă legătură cu testele PISA, dar și cu alte examene internaționale standardizate, ca International Baccalaureate din Marea Britanie sau Abitur din Germania.

Lecțiile de matematică din țara noastră sunt mult mai prietenoase și, mai ales, mai practic prezentate în școala primară și în gimnaziu, comparativ cu nivelul de liceu. Manualele conțin mai multe elemente grafice care ajută la învățare, iar problemele sunt contextualizate, cu oarecare formulare practică. Ele apar mult mai des în gimnaziu decât exercițiile și problemele abstracte, computaționale sau teoretice, care abundă în manualele de liceu.

În afara lecțiilor de matematici financiare sau probleme de numărare, atât teoria, cât și exercițiile din manualele de liceu sunt prezentate abstract — perfect riguros, dar neprietenos, din punctul de vedere al comunicării. Apar expresii care trebuie calculate, funcții pe care ipoteza le definește, iar elevul trebuie să le evalueze, deriveze sau integreze, ecuații și sisteme pe care să le rezolve și exemplele pot continua — fără, însă, un context: problema cere direct „să se calculeze” sau „(să) fie”.

Prin comparație, manualele din străinătate conțin multe exerciții formulate aparent vag, după standardele rigorii matematice, dar cu inspirație practică din care elevul trebuie să extragă informația matematică — adică aproape la fel cum se întâmplă și la noi, dar aproape exclusiv înainte de clasa a noua.

Așa se face, de exemplu, că geometria pe care o studiam în clasele a noua și a zecea, geometria vectorială și analitică, mai precis, în strânsă legătură cu trigonometria și reprezentarea geometrică și trigonometrică a numerelor complexe sunt capitole care au ajuns să fie considerate extrem de abstracte de către elevi, într-atât încât Ministerul Educației din țara noastră să le minimizeze sau chiar să le elimine. Tocmai în clasa a noua, când lucrul cu vectori de la orele de matematică ar fi putut să vină în sprijinul mecanicii newtoniene, abstractul are prioritate în matematicile din România.

Argumentul asupra căruia insist este că tehnica de abstractizare, de modelare matematică a unei situații (aproape) practice sunt abilități care le lipsesc grav elevilor noștri. Dacă le-au avut vreodată în perioada gimnazială, când încă mai rezolvau probleme „cu text”, cu siguranță au avut posibilitatea să le uite în anii de liceu.

În plus, nu cred că exagerez dacă fac legătura între astfel de abilități și gândirea critică în general, alfabetizarea funcțională, la care ne situăm tot pe poziții codașe în Europa. Capacitatea de a extrage o ecuație sau măcar de a plasa corect contextul unei probleme în cadrul unui capitol de matematică nu e cu mult diferită, într-o primă aproximație, de aceea prin care extragi mesajul dintr-un text, recunoști o manipulare sau, mai academic, trăsături specifice unui gen sau curent literar-artistic.

Calcule frumoase sau calculator?

Tot pe subiectul exercițiilor și, mai ales, al legăturii lor cu situații reale este folosirea calculatorului de buzunar, chiar a unuia științific.

În țara noastră și mai ales în liceu, exercițiile propun calcule „frumoase”, cu rezultate exacte, care nu de multe ori sunt reprezentate în formă zecimală. Mulți elevi ar fi deranjați de un rezultat de forma 433/212 sau 5,713, de exemplu, dacă le-ar întâlni la altă lecție decât cea despre fracții ordinare sau zecimale.

În rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea, dacă discriminantul nu este un pătrat perfect, poți fi aproape sigur că ai greșit la calcul. Toate acestea pentru că exercițiile din România sunt gândite astfel încât să nu ai nevoie de un calculator de buzunar (nu este permis la niciun examen), așa că rezultatele sunt ușor de evaluat direct. Însă o astfel de situație contribuie la abstractizare și la îndepărtarea elevilor de probleme „imperfecte”.

Nu putem avea această discuție fără context, anume întrebarea despre rolul lecțiilor de matematică din învățământul preuniversitar. Sunt de acord că tabla înmulțirii, algoritmul de împărțire cu rest sau cu zecimale, chiar algoritmul de extragere a radicalului sunt exerciții mintale binevenite, la fel cum este memorarea unor poezii sau analiza gramaticală a frazei. Cred, însă, că odată cu această gimnastică cerebrală minimum necesară, se impune și dezvoltarea de abilități practice — acest clișeu care se referă la cunoștințe și aptitudini relevante pentru viitorul adult, cetățean și profesionist.

Una dintre abilități, atât pentru elevi, cât și pentru profesori, este înțelegerea că matematica nu se adresează doar matematicienilor. Aș adăuga-o și pe aceea că tot matematica este indispensabilă inginerilor și cercetătorilor din laboratoare, care fac măsurători de precizie și care înțeleg că o lungime de 1,01 metri nu trebuie rotunjită la un metru.

Cred că teama că elevii ar putea să uite tabla înmulțirii și să apeleze la calculatorul științific sau la computer pentru orice socoteală nu se susține și, chiar dacă este reală, sunt două alte probleme și mai mari. Mai întâi, mă refer la un tip de „rezistență”, de anduranță în rezolvarea unor probleme complexe. Cu cât rezolvarea sau calculele se lungesc, cu atât crește probabilitatea de greșeală și este normal să fie așa. Dar, când folosești calculatorul, nu trișezi, arzând etape, ci te ajuți să-ți păstrezi concentrarea asupra ansamblului. Căci, așa cum am mai scris, matematica din ciclul preuniversitar este despre gândire logică, (co)ordonată, capacitatea de a construi și a duce la bun sfârșit un argument sau, în cazul acesta, un calcul. Un calculator științific sau un soft educațional, îți dă ocazia să vezi pădurea de copaci, reduce migala și „cât-ul”, în timp ce îți dă puterea să te gândești cum să ataci sarcini mai ample.

Sunt un adept al tehnologiei ca unealtă și îmi învăț mereu elevii și studenții să folosească GeoGebra, Wolfram Alpha sau, mai nou, agenți de inteligență artificială în ajutorul rezolvărilor sau pentru verificarea rezultatelor. Știu că memorarea riscă să cadă în irelevanță când ai totul la câteva butoane distanță. Dar mi se pare anacronic, dăunător chiar să refuz accesul la tehnologie, mai ales când știu, din poziția de la catedră, că am oportunitatea să arăt cum poate fi folosită responsabil, ca ajutor real, nu ca substitut.

Apropo chiar de GeoGebra, pe care mulți profesori de matematică l-au (re)descoperit în perioada pandemiei și a orelor online, unele manuale din Franța încep cu un scurt ghid de utilizare a platformei. Tot acolo găsești și instrucțiuni pentru folosirea calculatorului științific, particularizate pentru câteva modele populare. Iar în Germania, există o listă de modele aprobate oficial de Ministerul Educației pentru a fi folosite în timpul examenului de bacalaureat (Abitur).

Când repetiția nu e mama învățăturii

Știu că o bună parte din detaliile pe care le-am analizat aici nu sunt noi și nici surprinzătoare. Am, totuși, convingerea că exemplele concrete și comentate pot să ofere idei și să contribuie la o îmbunătățire a situației mai eficient decât o analiză de ansamblu, la nivel de „sistem educațional”.

Am discutat și cu alți profesori de matematică și mi-au confirmat că exemplele din Franța și Germania nu sunt unice. Multe din diferențele de aici le găsești și în Italia, Spania, Marea Britanie și nu numai. Sigur că fiecare țară și sistem de învățământ au libertatea de a se defini și a se construi în particular. Ba chiar, tradiția matematicii din România este una de lider sau măcar top mondial, dacă ne luăm după rezultatele la olimpiade ale ultimelor decenii. Dar un argument de tipul acesta pentru păstrarea dificultății și abstractizării, refuzul modernizării manualelor școlare în consens cu atâtea altele care funcționează arată că nu doar elevii se pierd în calcule și teorii.