Problema cere să calculezi o compunere a 2026 de termeni, cu regula definită anterior. Formularea e tipică: apare numărul anului curent, dar te îndeamnă să cauți o soluție generală. Nici vorbă să calculezi 2026 de operații. În plus, nu e nimic special la numărul ăsta, ar trebui să te gândești la o metodă care să funcționeze și pentru 10 termeni, și pentru 3.641.
„Știu, căutăm un element canibal!” mi-a spus, foarte serioasă. Am făcut ochii mari și am întrebat-o zâmbind: „Un... ce?”. Atunci și-a dat seama: „A, un element canibal, adică un a astfel încât x compus cu a să fie a compus cu x să fie a, pentru orice x”, a zis, în timp ce scria definiția. „Pe noi așa ne-a învățat.” Apoi am râs amândoi. I-am spus că nu mai auzisem denumirea până atunci, dar am înțeles la ce se referă și, cel mai important, că e o idee foarte bună pentru astfel de exerciții.
Mi-am dat seama și din alte exerciții că profesorul ei făcuse eforturi să le explice în cuvinte cât mai simple axiomele și definițiile algebrei abstracte. Căci subiectul, care apare în clasa a douăsprezecea, își merită numele. „Îmi dau seama că trebuie să reînvăț tot ce știam, parcă nici tabla înmulțirii nu mai e la fel”, mi-a spus un alt elev.
În spatele legilor de compoziție, al axiomelor de asociativitate, comutativitate, element neutru și elemente simetrizabile, se află exemple binecunoscute: adunarea și înmulțirea de numere întregi, reale sau matrice dar și alte situații, care acum au fost abstractizate, în sensul generalizării.
Numai că terminologia e un zid pe care prea puțini elevi îl străpung și nu mulți profesori fac eforturi să concretizeze prin exemple deja cunoscute sau măcar să îndulcească unele definiții, chiar cu riscul de a pierde o fracțiune din rigoarea absolută.
Definiții și frustrări
Când noțiunea de funcție, un obiect matematic fundamental în mai toate disciplinele, se introduce în manualul de clasa a noua pe mai bine de patru pagini, cu produse carteziene, diagrame convenționale, definiții și terminologie care se tot complică și nicăieri nu apare vreo legătură cu înțelesul intuitiv, eventual legat de cuvinte ca „funcționare” sau expresii ca „în funcție de...”, cred că devine clar cum educația tinde mult prea devreme spre supraspecializare.
Unii profesori deghizează astfel de exagerări (îmi permit să le spun așa) în bunele intenții ale educației riguroase. Matematica înseamnă precizie și, ca orice disciplină, nu doar tehnică sau științifică, are propriul vocabular. Departe de mine gândul să contest aceste adevăruri, însă nu pot să nu mă întreb dacă astfel de precepte ar trebui să fie însoțite de precauții de vârstă minimă recomandată.
E greu să argumentezi că profesorul de matematică de fapt nu vrea să facă din fiecare elev al clasei sale un matematician, în loc să se concentreze pe a educa gândirea logică, structurată, care să poată urmări un calcul sau un raționament argumentativ. Evit chiar să folosesc expresia „să știe matematică”, pentru că, mai ales la nivel preuniversitar și cu atât mai mult în școala primară sau gimnazială, cramponarea în terminologie, în „Definiție, două puncte... Cu liniuță: Se numește...” sau în algoritmi deveniți rețete de rezolvare a problemelor nu au cum să ajute. Elevii ajung să ducă mai departe prejudecata că matematica e plină de formule și teoreme de memorat (de cele mai multe ori prezentate fără demonstrație sau măcar o explicație de ce ar fi adevărate) și de calcule pe care oricum ți le face computerul când nu vei mai fi la școală. Iar peste toate, frustrarea că „nu ești în stare”, că „nu înțelegi” sau chiar că „nu gândești”.
Elementele educației
Însă rolul școlii nu este să pregătească specialiști. Educația obligatorie, fundamentală pentru orice parcurs profesional vei urma, înseamnă elemente, familiarizare cu diversele discipline, din care ai putea să-ți alegi spre aprofundare la facultate. Școala este despre „cum”, nu „cât”. Nu pregătește filologi și nu-ți numără cărțile din bibliotecă, ci arată cum să citești și să interpretezi operele literare. Nu devii cercetător, ci înveți ce conține metoda științifică, ce înseamnă gândirea critică, cum să-ți pui întrebări și cum să pregătești un experiment sau o simulare. În fine, nu te face matematician, cu atât mai puțin prin cantitatea de exerciții lucrate sau numărul de premii câștigate la olimpiade și concursuri, ci îți arată cum să gândești logic, să urmărești firul unei argumentări, să delimitezi ipoteza de dezvoltare și de concluzie sau să vizualizezi aranjamente plane și spațiale.
Astfel de scopuri se pot atinge și fără rigoare absolută — ba chiar, invers proporțional cu rigiditatea limbajului și constrângerile ferme ale axiomaticii, aș spune. Apelul la intuiție are nu numai beneficiul de a simplifica unele concepte, în timp ce se păstrează esența lor, ci și marele merit de a face elevii părtași ai experienței de descoperire.
O definiție impecabilă din punct de vedere academic, cu limbaj de specialitate, notații pe măsură și precizie exemplară încearcă să transmită conceptul, însă majorității elevilor le este inaccesibilă dacă nu este construită interactiv, din aproape în aproape, sau, și mai bine, coboară nivelul limbajului și poate chiar al preciziei pentru a transmite mesajul.
Cum să mângâi graficul unei funcții
O bună parte a elevilor de liceu cu care am lucrat în ultimii cincisprezece ani au probleme tocmai la capitolele de matematică ce apelează cel mai mult la intuiție: analiza din clasele a unsprezecea și a douăsprezecea.
O funcție este derivabilă pe domeniul de definiție dacă este derivabilă în orice punct al acestuia, adică dacă există și este finită o limită, calculată printr-o fracție pe care nu o scriu aici. Am condensat definiția din manual. Acum faceți o comparație cu „definiția” pe care ne-a dat-o profesorul de la clasă și pe care, iată, o rețin verbatim la mai bine de douăzeci de ani: „o funcție este derivabilă dacă poți să-i mângâi graficul fără să te înțepi”. După ce am râs împreună, profesorul a completat că noțiunea se numește în engleză smooth și inclusiv în română mai există denumirea de netedă, așa că ne-a dat o caracterizare nu doar estetică, ci și cu fundament matematic.
Ajuns și eu profesor, mă întristez când cer unui elev să explice o noțiune iar el, încurcat, caută prin memorie formule și exprimări standard. Mă străduiesc de fiecare dată să le spun că apreciez mult mai mult o exprimare liberă, cu cuvintele proprii, decât o formulă recitată și aplicată mașinal.
La fel și în rezolvarea exercițiilor: în locul pașilor standard, pe care mulți îi învață algoritmic și-i aplică, poate, fără greșeală, dar și fără altă contribuție în afara atenției și memoriei cu care au urmat rețeta, prefer să-mi las elevii să greșească sau să aleagă calea mai lungă. Nu cred că sunt ineficient sau că îi pedepsesc dacă îi las să umple pagini de încercări, soluții parțiale sau complete la probleme care „se rezolvă” în câteva rânduri. Desigur că le explic alternativa pe care o propun sau cea pe care o găsesc, de obicei, în baremele examenelor, după ce termină sau își epuizează ideile. Însă nu de puține ori m-am bucurat să fiu refuzat, căci soluția mea (sau cea din barem) este elegantă, simplă, dar ei o preferă pe cea proprie, tocmai pentru că au găsit-o singuri, și-au asumat și însușit fiecare pas.
Cred, deci, că predarea matematicii, dar și a altor discipline, ar trebui să fie mai degrabă imperfectă. Să-și îndeplinească în primul rând rolul de comunicare și, ori de câte ori este posibil, această comunicare să fie bazată pe dialog.
Didactica specialității
Profesorii de la clasă au, majoritatea, o pregătire academică solidă, poate uneori cu experiență de cercetare, doctorate și supraspecializări. Însă rolul didactic are prioritate, dacă nu chiar îl minimizează pe cel de savant, de cercetător sau expert, atunci când intră în clasă, mai ales în învățământul preuniversitar.
Calitatea actului de educație nu cred că se măsoară prin precizia noțiunilor predate, prin potrivirea la milimetru în șabloanele axiomatice, rigide și riguroase, ci în transmiterea informațiilor, învățăturii cu explicații, comparații, metafore atunci când este cazul, încât elevul să aibă loc de propriile cuvinte atunci când își clarifică, recapitulează sau își repetă materia.
Evident că nu fac o pledoarie pentru predarea cu greșeli sau omisiuni, cu atât mai puțin unele intenționate. Când, de exemplu, o regulă de calcul sau o teoremă conține și excepții sau nu are o formulare reciprocă adevărată, profesorul nu ar trebui să-și menajeze elevii și să omită aceste explicații doar pentru că regula generală e mai ușor de ținut minte decât una pe cazuri, cu particularități. Dar cred că formula de calcul al determinantului unei matrice sau metoda de construcție a integralelor Riemann pot să lipsească, în forma lor cea mai generală, și, în schimb, să fie explicate prin cât mai multe exemple sau aplicații. Acestea ar da elevilor confortul că se pot descurca în orice situație care implică noțiunile și nu cred că ar simți lipsa unor definiții riguroase și extra-complicate.
Două vorbe să-ți mai spun
Sunt două vorbe de duh atribuite (probabil apocrif) lui Einstein, care mă ghidează și care cred că se potrivesc argumentului pe care l-am susținut aici.
Prima, că educația înseamnă ce rămâne după ce ai uitat tot ce ai învățat în școală. Interpretarea obișnuită se referă la ceea ce astăzi se cheamă soft skills, abilități de comunicare, de socializare, bun simț și așa mai departe. Dar cred că putem extinde înțelesul zicalei și astfel: educația, învățătura de la matematică (de exemplu), înseamnă ce-ți rămâne după ce ai uitat toate formulele. Când nu mai știi că delta este „be pătrat minus patru a ce”, dar îți amintești de graficul pe care poți să-l mângâi și de elementul canibal. Când ai uitat tabelul de derivate sau regula de derivare a produsului, dar îți amintești că analiza este un fel de „mecanică a matematicii” și că derivata caracterizează „viteza” cu care se schimbă o funcție.
A doua bucată de înțelepciune spune că ai înțeles un lucru numai când ești în stare să-l explici și bunicii.
Unii profesori văd în rigoarea și complexitatea tehnică a materiei predate o distincție de onoare, care îi plasează automat într-o altă ligă față de elevii lor. Se mândresc atunci când crește distanța până la catedră și sunt convinși că procesul se datorează exclusiv lenei sau incapacității celor din bănci.
Dar sfatul ascuns din proverbiala prelegere în fața bunicii este în primul rând unul de autoanaliză. Privește-ți elevii drept parteneri de conversație și profită de faptul că tu poți stabili nivelul discuției. Nu fi un „portar” al matematicii sau al disciplinei pe care o predai — nu face gatekeeping, cum spune limba engleză. Ai curajul să înțelegi că poți educa și altfel decât prin totul sau nimic și că o noțiune înțeleasă intuitiv sau explicată (nu reprodusă!) imperfect cântărește mai mult decât o formulă memorată. Elevul care nu știe tabla înmulțirii, dar întârzie un minut ca să obțină rezultatul prin adunări repetate sau prin aranjamente geometrice se implică și își asumă fiecare calcul.
În fine, nu cred că programa încărcată, programul zilnic la fel, manualul stufos, examenele și exercițiile tot mai standardizate sunt răspunsul și nici principala cauză pentru vag numita „problemă a educației”, arătată, printre altele, de analfabetismul funcțional și de rezultatele dezastruoase la testele PISA.
Am mai scris despre metode interdisciplinare aici și mi se pare important să poți contextualiza informația, să înțelegi că majoritatea disciplinelor de studiu se leagă între ele, chiar dacă în grade diferite. Dar până să ajungă la granița sau întrepătrunderea dintre materiile de studiu, cred că fiecare profesor (de nivel preuniversitar, cel puțin, deși putem avea discuții și la nivel de facultate) are datoria să înțeleagă că nu pregătește specialiști, ci copii care să știe și matematică, și română, și fizică și multe altele. Cel puțin așa arată orarul și programa, însă educația primilor (măcar) zece ani de școală înseamnă know-how.
