Fie funcția f/ecuația… Să se calculeze, apoi să se arate că… Iată, în câteva cuvinte, structura majorității exercițiilor din manuale, din teste și din examene. Capitolele care încă mai au o formă prozaică le întâlnești la matematici financiare sau probabilități ori probleme de numărare. În rest, algebra, analiza, ba chiar și geometria sunt atât de abstractizate, încât par dogmatice. Așa că elevii nu le mai înțeleg, nici nu le învață — cel mult, le memorează.
Terminologia adaugă confuziei, deși nu e vorba chiar de cuvinte complicate ca în biologie sau limbi străine. Neexplicate sau cu definiții seci, pline de simboluri, cuvinte ca monoton, convex, concav, convergent sau liniar ajung să se memoreze și ele ca formule.
În plus, apariția și fluxul ideilor, nu doar în matematică, are un rol la fel de important precum conținutul acestora, căci le situează în context și arată că, asemenea procesului educațional, și cercetarea este cumulativă, rezultatul unui efort neliniar, cu multe ramificații.
Cuvinte derivate
Citind și învățând din cărți în engleză sau franceză, am dezvoltat o pasiune pentru etimologie și pentru compararea cuvintelor de specialitate între limbi. Am descoperit, de exemplu, că sinusul — funcția trigonometrică, dar și formațiunea anatomică — au rădăcina comună în latinescul sinus, care înseamnă „curbură”, dar și „sân”. Legătura este relevantă inclusiv matematic, pentru că reprezentarea grafică a funcției sinus, pe care o întâlnești oriunde apar oscilații (sunete, curent alternativ, radiații), e plină de curbe armonioase.
Apropo de curbe, limba engleză numește o funcție derivabilă smooth (există termenul și în română, netedă, dar nu e preferat de manuale și profesori). Explicația matematică pornește de la definiții și teoreme abstracte, dar, în esență, îl voi parafraza pe profesorul meu din liceu: o funcție este derivabilă dacă poți să-i mângâi graficul fără să te înțepi. Cel puțin la nivel intuitiv, formularea cuprinde proprietatea esențială și poate nu-ți folosește într-o demonstrație riguroasă, dar are avantajul ancorării în vizual și chiar tactil.
O situație care creează confuzie în clasa a unsprezecea se referă la convexitate și concavitate. Ambii sunt termeni tot despre forma reprezentării grafice, despre „văile” (gândește-te la litera U) și „munții” (⋂) pe care le conține. Conform dicționarului, con-cavitatea sugerează o „adâncitură” și, dacă știi că termenul complementar este convexitatea, atunci el trebuie să arate un „munte”. Așa stau lucrurile, de exemplu, la oglinzile și lentilele din fizică: cele concave au o scobitură, în timp ce convexele au o ridicătură. Doar că în matematică, sensurile sunt inversate (motivul e ceva mai complicat; pe scurt, nu forma graficului are prioritate). În germană, am fost inițial surprins să aflu că termenii folosiți sunt „curbă care face la stânga” (Linkskurve) și „curbă care face la dreapta” (Rechtskurve).
Dar terminologia e intuitivă dacă iei un punct de vedere de pe curbă: circuli pe o șosea care are forma curbei respective pornind din capătul din stânga și mergând către dreapta și, când curba are o „vale” (U, formă convexă), virezi la stânga, iar când are un „munte” (⋂, formă concavă), virezi la dreapta.
Un alt exemplu în care matematica apare neașteptat este gradientul. Dacă ai folosit Photoshop sau alt editor de imagini ori videoclipuri, ai văzut că există această unealtă, care îți permite să amesteci sau să variezi culori treptat, după o anumită direcție: gradientul radial sau gradientul liniar. În analiza matematică afli că gradientul este foarte asemănător cu derivata unei funcții. Originea istorică și aplicațiile derivatelor se leagă de variație — nu întâmplător, derivatele apar și la fizică: derivata (variația) poziției înseamnă viteza, iar a vitezei înseamnă accelerația. E clar, atunci, că gradientul, fie în termeni matematici, fie ca o unealtă de colorare, arată același lucru: variația unei cantități, de exemplu, a saturației ori a nuanței de culoare în imaginile de mai sus.
Astfel de legături arată cum un concept matematic sofisticat își găsește aplicațiile și chiar e mult probabil să-l fi întâlnit deja. De aceea, explicațiile din școală pot să pornească de la această experiență.
Matematica = istoria ideilor și a matematicienilor
Dincolo de calcule și aplicații, matematica este, în primul rând, o poveste cu și despre oameni. Or lucrul acesta este ascuns când înveți teorema lui Pitagora, dar nu știi că este vorba de Pitagora din Samos, care a trăit în secolele V-VI înaintea erei noastre, înaintea majorității grecilor de care ai mai auzit (Euclid, Arhimede, Aristotel). De fapt, nici măcar nu se știe sigur că a existat, căci toate scrierile despre el au fost datate mai bine de un secol mai târziu. Aceleași scrieri mai spun că Pitagora e posibil să fi participat la o ediție a Jocurilor Olimpice, la box, și că ar fi fost fondatorul unui adevărat cult, aproape religios, bazat pe muzică, matematică și legătura dintre cele două. Pe de altă parte, despre teorema care îi poartă numele știm sigur că era cunoscută civilizațiilor orientale dinainte de presupusa viață a grecului, deci este o certitudine că nu el a descoperit-o primul.
Tot din Grecia antică, unul dintre cei mai importanți predecesori ai lui Pitagora și pe care îl întâlnești tot printr-o teoremă de geometrie este Thales. El a trăit cu aproximativ un secol mai devreme, în Milet, una dintre cele mai dezvoltate provincii, aflată azi în Turcia (pe teritoriul regiunii Balat). Thales a fost primul care a propus ca matematica și știința, numită atunci filosofie naturală, să devină riguroasă, să conțină și argumente sau demonstrații, nu doar observații. Până atunci, obiceiul era ca toate cugetările și descoperirile înțelepților să fie exprimate în versuri și cu un limbaj poetic, așa cum a făcut, de exemplu, poetul Hesiod (sec. VIII î.e.n.), care a scris despre apariția Universului. Euclid din Alexandria (sec. III î.e.n.) este un exemplu remarcabil care i-a pus în aplicare sfaturile și, în cele unsprezece volume ale capodoperei sale, Elementele, apar demonstrații riguroase, cum le știi: ipoteză, argument, concluzie.
Mai aproape de modernitate, îi întâlnești pe Sir Isaac Newton („binomul lui Newton” din combinatorică) și Gottfried W. Leibniz („formula Leibniz-Newton” din calculul integralelor definite). Ambii au contribuit fundamental în dezvoltarea analizei matematice, dar cu metode diferite: Newton era inspirat din fizică, iar Leibniz, din geometrie și filosofie. Conflictului dintre ei — purtat de la distanță, căci nu au corespondat direct, cel puțin nu oficial — și adepților care i-au urmat li se datorează faptul că folosim două notații diferite pentru derivata unei funcții f(x). Leibniz este propunătorul notației df/dx, pe care ai folosit-o la fizică, în timp ce Leonhard Euler și Joseph L. Lagrange — alți doi matematicieni din manuale — au propus notația f’(x).
Și poveștile din jurul matematicienilor sunt fascinante. De exemplu, în cartea Ecuația care n-a putut fi rezolvată (Humanitas, 2007), fizicianul de origine română Mario Livio scrie despre Évariste Galois, un geniu despre care poți afla în facultate. El a murit în 1832 la doar douăzeci de ani, într-un duel cu pistoalele, posibil pentru o domnișoară, după ce fusese eliberat din închisoare pentru activism politic. Cu câteva zile înainte să moară, și-a transcris toată opera matematică de până atunci și a lăsat o moștenire extraordinară, exprimată chiar de titlul cărții. Galois a demonstrat că ecuațiile polinomiale de grad mai mare sau egal cu cinci (adică acelea care conțin termeni cu x5 sau x6) nu se pot rezolva prin formule — cum există formula cu Δ pe care o știi pentru ecuațiile de gradul al doilea. Cartea urmărește povestea vieții lui Galois, care se intersectează cu alte nume mari, prezente în manuale, ca Augustin Louis Cauchy, Joseph L. Lagrange sau Niels H. Abel. Acesta din urmă, de exemplu, a dat numele grupurilor comutative sau abeliene din clasa a douăsprezecea.
Gândirea artificială și abstractul creativ
În prezent, computerele ne înconjoară și inteligența artificială ne stă în buzunar sau la vârfurile degetelor. Ambele unelte (dacă încă mai sunt privite ca unelte) ne încurajează să externalizăm, să lăsăm un soft să facă lucrurile nu atât pentru noi, cât în locul nostru. La un examen recent, unde am permis studenților să folosească inteligența artificială, cu condiția să-mi explice răspunsul dat, am urmărit cum majoritatea au copiat integral cerințele și le-au pus în fereastra ChatGPT, ca să primească rezolvările complete. Le-au copiat apoi în documentul de examen și abia la final au întrebat AI-ul ce înseamnă răspunsurile primite, linie cu linie.
Eu însumi folosesc tehnologia și AI-ul zilnic și chiar le susțin, însă pentru ajutorul educației, nu înlocuirea ei. Un studiu recent de la MIT arată că folosirea chatboților precum ChatGPT dăunează gândirii critice și capacităților de sinteză și abstractizare. Or matematica este în primul rând un exercițiu de abstractizare, însă unul în strânsă legătură cu umanul, cu concretul, cu vizualul atunci când este posibil și chiar cu narativul. Conexiunea servește ambelor direcții: mai multe studii au arătat că există o legătură puternică între abilitățile de abstractizare și creativitatea artistică, prin îmbunătățirea capacității de asociere, extrapolare sau esențializare.
Totodată, nu uit și că mă întâlnesc aproape în fiecare zi cu dezastrul analfabetismului funcțional. E pretențios să vorbesc despre cărți sau povești biografice ale matematicienilor, etimologiile termenilor de specialitate, echivalentele lor în alte limbi când prea mulți elevi români au dificultăți în a înțelege texte care sunt departe de complexitatea matematicii. Nu mai deschid și subiectul cărților și al obiceiurile de lectură. Dar închei concentrându-mă pe două propuneri pe care le văd esențiale și mai ușor de implementat decât par.
Rigiditatea, limbajul impersonal, exagerat de tehnic din lecțiile („teoria”) și exercițiile de matematică accentuează problemele educaționale, pentru că izolează și mai mult matematica de restul disciplinelor. Cu ea vin, în diverse grade, și științele naturii, căci poate fi mai ușor să vezi și să înțelegi mișcarea pe un plan înclinat decât monotonia unei funcții exponențiale. Dar, pe lângă bariera de limbaj creată de termenii de specialitate, să nu uităm că din multe școli lipsesc laboratoarele dotate corespunzător, iar, când există, nu garantează nimeni că orele se și desfășoară acolo sau că aparatura se folosește. De simulări computerizate nici nu mai încape vorba, deși există unelte software excelente și simplu de folosit cu un minimum de alfabetizare digitală, atât pentru experimente de laborator, cât și pentru vizualizarea matematicii. Dar am trecut cu toții prin trauma pandemiei și a digitalizării de urgență a procesului educațional și știm cum stăm.
În fine, propun să fim pragmatici: dacă tot matematica este obligatorie și nu puțină în anii de școală obligatorie, n-ar fi, totuși, bine să o și înțelegem, să o relatăm cu cuvintele noastre și în contextul larg al educației și chiar al vieții? Să ne străduim să o povestim, să o umanizăm și să nu mai ascundem istoria și „procesul ei de fabricație”. Evoluția ideilor matematice, precum și motivațiile lor practice aduc în concret formulele și teoremele, dar și pe cei care le-au descoperit. Întrebarea pe care am avut-o de multe ori ca elev și student când vedeam o construcție auxiliară sau artificii de calcul era „De unde ar fi putut să-mi vină o asemenea idee?”. Răspunsul este doar parțial în experiență și exercițiu și e mult mai transparent și atunci când succesiunea ideilor este la vedere, inclusiv din punct de vedere istoric. Și apoi, nu se știe niciodată când un elev ar putea fi captivat de o biografie extraordinară — în matematică și nu numai — cum au avut Galois, Newton, Gauss sau Leibniz, interes care merită încurajat mai mult chiar decât participarea la concursuri sau olimpiade.
Dacă Galilei a avut dreptate și Universul a fost scris în limba matematicii, mai rămâne doar să înțelegem că asta o alătură istoriei oamenilor și ideilor. Ecuațiile, formulele și teoremele sunt etape de dezvoltare, cu încercări, cu reușite, cu reformulări și iar alte încercări. De aceea, povestea lor merită mult mai mult decât să se considere și să se rezolve.
