Stătea în pat și se uita la pătratele de pe tavan. În total, 25. Le-a tot numărat și când s-a plictisit, s-a gândit să inventeze un joc ca să navigheze prin ele. Și a tot căutat trasee astfel ca să treacă prin fiecare pătrat măcar o dată. Doar că nu reușea asta din fiecare pătrat din care pornea.
„Întrebarea aia mi-a rămas în minte ani de zile. Nu credeam că fac matematică pentru că nu avea nicio legătură cu matematica de la școală”, spune profesorul James Tanton azi. În capul său de copil de 8 ani, matematica era doar despre memorat formule pe care să le aplice în probleme.
„Îmi amintesc că mergeam pe jos la școală, în clasa a X-a, deci trebuie să fi avut vreo 14 sau 15 ani, și dintr-o dată, fără să mă gândesc măcar la această problemă, am avut o imagine care mi-a apărut în creier și care a explicat dintr-o dată: o, Doamne, din acele pătrate e de fapt imposibil să faci o traiectorie completă.”
A spart puzzle-ul, dar nici atunci, în momentul ăla de bucurie în care a găsit răspunsul, nu s-a gândit că jocul pătratelor de pe tavanul său ar fi legat de matematică. Abia la facultate și-a dat seama că el rezolva mereu probleme de mate în capul său.
„Mă plictiseam foarte tare la școală la matematică, deși eram considerat bun și talentat la ea. Nu mi-a arătat ce era, de fapt, matematica”, a povestit James Tanton. Așa că absolventul de Princeton a vrut să schimbe cu totul cum se predă matematica și a lansat Global Math Project. Nu se poate bate cu sistemele orientate spre examene și note care domină lumea, dar e convins că poate să aducă plăcerea în învățarea, dar și în predarea matematicii.
Le-a vorbit despre asta și profesorilor români de matematică la Festivalul DataMathLab din Brașov, după ce a făcut un popas pentru două cafele și două ore de povești despre matematică în redacția Școala9.
„De ce?”
Școala9: De ce ați ales acest drum în carieră, să studiați matematica la facultate?
James Tanton: Frustrarea și furia, dar în sensul bun. Am avut două experiențe distincte în anii de școală când mi-am întrebat profesorii o întrebare de tip „de ce?”. Una a fost în clasa a V-a, învățam algoritmul împărțirii lungi (metodă de a împărți numerele mari treptat, folosind un șir de operații, n.r.) și ni s-a dat această fișă de lucru și erau vreo 20 de probleme de făcut iar și iar. Știam că o pot face, memorasem algoritmul, știam că îmi voi primi steluța de aur pe fișă și o voi face pe profesoara mea fericită. Dar am întrebat-o pe profesoara mea „de ce funcționează acest algoritm?” Și răspunsul ei a fost: „Pur și simplu așa se întâmplă. Întoarce-te la fișa de lucru.”
Apoi, același lucru din nou în clasa a IX-a. Era o școală publică mare în Australia, 37 de elevi într-o clasă. Discutam despre Teorema lui Pitagora. Deci, dacă iei un triunghi cu un unghi drept, se pare că o latură la pătrat plus cealaltă latură la pătrat este egală cu latura lungă la pătrat. a2 plus b2 este egal cu c2, așa cum spun oamenii de obicei.
Profesorul ne-a pus să ne scoatem compasurile, raportoarele, riglele și creioanele și să desenăm trei exemple de triunghiuri dreptunghice pe pagină, să măsurăm lungimile și să vedem dacă a2 și b2 adunate chiar sunt egale cu c2.
Am ridicat mâna și am spus: scuzați-mă, domnule Phillips, de unde știm că asta nu s-a întâmplat pur și simplu din coincidență de 111 ori la rând? Și răspunsul lui a fost: „Întoarce-te și desenează alte trei triunghiuri.”
Atunci m-am gândit că nu voi învăța niciodată de ce funcționează Teorema lui Pitagora.
Am citit și am înțeles singur în cele din urmă, dar am realizat că sunt pe cont propriu la matematică. Asta a fost experiența mea. Cred că lucrurile s-au îmbunătățit mult de atunci, dar asta m-a făcut să-mi învăț lecția: nu trebuie să pun întrebări.
Apoi, am mers la universitate, la științe. Am realizat că nu-mi plăceau chimia și fizica fiindcă nu-mi plăcea munca de laborator, așa că m-am dus la fizică teoretică. Și apoi a trebuit să încep să iau cursuri de matematică. Am luat un curs numit Algebră abstractă, care era, în esență, despre de ce funcționează aritmetica așa cum funcționează? Și asta a fost.
M-am gândit că, în sfârșit, astea sunt răspunsurile la toate întrebările de tip „de ce” pe care le adunasem de 13 ani și că matematica e, de fapt, pentru mine.
Doar că nu am avut niciodată șansa să văd ce este timp de 13 ani, de aici vine sursa furiei. A trebuit să aștept 13 ani. Majoritatea oamenilor nu au niciodată această oportunitate. Singura matematică pe care o experimentează vreodată este matematica de la școală. Și asta este greșit din punct de vedere moral, după părerea mea.
- Apoi ați mers la Universitatea Princeton…
- Atunci am realizat că eram cu adevărat matematician. M-am îndrăgostit pur și simplu de matematică și am urmat toate cursurile care existau. Apoi am mers să-mi iau doctoratul în matematică. Asta m-a dus la Princeton, în SUA. Am plecat din Australia în 1988 și am rămas în SUA în ultimii, o, Doamne, 37 de ani.
„Voiam să fac bine în lume și viziunea mea de a face bine era predarea”
- Ați fi putut alege orice carieră, una de cercetare, de pildă, dar ați vrut să predați.
- Este iarăși acea furie: de ce ar trebui să aștepte un copil 13 ani pentru a vedea ce ar putea fi matematica pentru el?
Nu vreau ca fiecare copil să se îndrăgostească de matematică, e prostesc, dar măcar să aibă șansa asta.
Am realizat că voiam să fac bine în lume și viziunea mea de a face bine era predarea, să arăt ce este matematica cu adevărat. Acum, am un doctorat în matematică. Trebuia să fiu profesor, am obținut un post de profesor asistent, dar nu mi s-a părut satisfăcător.
Am spus că vreau să am predarea ca obiectiv în cariera mea, așa că m-am dus la ceea ce se numește un colegiu de arte liberale, unde se concentrează atât pe cercetare, cât și pe predare, pentru că voiam acel accent pe predare. Dar apoi, pe măsură ce anii treceau, m-am gândit din nou la ce fac eu aici? Eram pe la începutul anilor 2000 acum și m-am uitat la programa de matematică din America și am fost îngrozit, pentru că era același lucru de tipul „memorează și fă” prin care trecusem și eu. Ridicol!
Așa că, în loc să fiu doar un profesor care se plânge de profesorii de liceu, am spus că vreau să înțeleg cu adevărat care sunt provocările, care sunt barierele, care sunt obstacolele de a fi profesor de liceu.
În sistemul american, la liceu, totul este despre examene, concentrare pe obiectiv, pregătire și iar pregătire. Așa că m-am gândit că voi merge acolo în ceea ce părea a fi arena cea mai lipsită de bucurie a educației matematice.
- Și le-ați spart cultura predării matematicii.
- Am făcut tot ce am putut în sensul ăsta. (râde)
- Ne puteți da câteva exemple de metode folosite?
-Atunci când am făcut trigonometrie, am început mereu cu o imagine a cerului nopții, acele fotografii frumoase cu time-lapse, ce observi, ce te întrebi legat de ceea ce vedem? Ceea ce nu se întâmplă niciodată în manuale.
Programa școlară în SUA este foarte programată și structurată. Trebuie să parcurgi o mulțime de lucruri și asta este o responsabilitate. Așa că întrebarea pentru mine a fost, unde este libertatea?
Am avut un moment deosebit de formativ în primul meu semestru ca profesor de liceu, când a trebuit să-mi învăț elevii cum să împartă polinoame, aceste formule lungi și complicate, pe care trebuie să le împarți una la cealaltă. Erau elevi din ultimul an sau aproape ultimul an, de 16 - 17 ani și m-am întrebat „de ce trebuie toată lumea să știe asta?”. Eu ca matematician cercetător am împărțit vreodată polinoame? Nu! În viața de zi cu zi, dacă sunt, gen, la cumpărături, trebuie să împart polinoame pentru a plăti? Nu. Mă gândeam, unde facem asta? De ce fac asta? Și aveam vreo două săptămâni să predau toată algebra polinoamelor.
Bun, despre ce sunt cu adevărat polinoamele? De ce i-a păsat cuiva de lucrurile astea în primul rând? Am realizat că polinoamele sunt povestea locului valorii. Am decis că voi preda studenților mei - sau nu preda, asta sună greșit -, voi avea o conversație cu studenții mei despre istoria locului valorii, care este de fapt una dintre cele mai mari realizări intelectuale ale omenirii.
Așa că am adoptat o abordare foarte vizuală a acestui lucru, numit punctele explodate („Exploding Dots”, un model vizual creat de James Tanton pentru a explica concepte din matematică prin pătrate și puncte, n.r.). Acești copii știau desigur totul despre baza 10, știau totul despre cum să adune numere și să înmulțească numere, dar nu dețineau cu adevărat acea poveste.
Am avut vreo două sau trei lecții în care am mers la matematica de la început, am trecut prin adunarea lungă, prin scăderea lungă, înmulțirea lungă, împărțirea lungă. Matematicii nu-i pasă că suntem oameni, că avem 10 degete. Credem că 10 este un număr natural pentru numărare din cauza anatomiei noastre. Marțienii au patru degete la fiecare mână. Ei cred că opt este numărul natural pentru numărare. (glumind)
Așa că am predat cum să împart polinoamele nepredând cum să împart polinoamele.
„Evaluarea va dicta întotdeauna cultura clasei”
- Faptul că ați fost atât de out of the box nu v-a adus probleme?
- Nu sunt calificat să predau în SUA pentru că nu am niciun curs de educație la activ. Dar școlile private pot angaja pe oricine vor ele. Așa că m-au angajat.
În timp ce eram profesor de liceu, m-am conectat cu o universitate din Boston și i-am ajutat să creeze un program de masterat în educație pentru profesori. Am conceput cursuri de matematică pentru profesori, pe care le-am predat în timp ce eram profesor de liceu.
Ironia era faptul că nu aveam voie să predau în școli, dar puteam să-i învăț pe profesori cum să predea în școli. Iubesc această ironie.
Multe din întrebările de examen sunt doar: „rezolvă asta”. Dacă o întrebare de examen spune „rezolvă această întrebare folosind metoda”... bla, bla, bla, ca un algoritm standard, mă tem că nu avem de ales. Trebuie să o facem. Și în final, nu am nicio problemă dacă decid să memoreze doar o formulă în cele din urmă. Grozav. Dar acum știi de unde provine.
- În România avem acest sistem foarte axat pe evaluare. Deci, cum evaluezi această altfel de predare la elevi?
- Adevărul este că evaluarea va dicta întotdeauna cultura clasei. Vorbim despre cum prețuim faptul că copiii fac greșeli și învață din greșeli și au perseverență. Vorbim despre asta, dar, în cele din urmă, singura etichetă pe care o punem pe copii este cum se descurcă la acel examen, care se referă doar la obținerea răspunsurilor corecte imediat, fără greșeli, rapid.
Așa că spunem că, de fapt, ceea ce prețuim în cele din urmă este să nu faci greșeli și să fii rapid. Nu voi învinovăți niciodată copilul pentru că a pus o întrebare de genul „va fi asta la test?”. Pentru că asta este supraviețuire. Nu voi învinovăți niciodată un copil pentru că a spus „zi-mi ce să memorez”.
Trist, dar ăsta e sistemul în care suntem. Dar mulți profesori sunt foarte obișnuiți cu acest sistem ei înșiși. Prin urmare, se simte familiar, iar familiaritatea e ca o atracție foarte puternică și este foarte greu să te schimbi de la ceva ce îți este cunoscut.
„Voi preda cu plăcere împărțirea polinoamelor dacă este vorba despre o experiență de gândire”
- Ce ar trebui să predea un profesor de matematică?
- Nu am nicio îngrijorare cu privire la conținut, pentru că conținutul este un vehicul frumos pentru predarea gândirii. E adevărat, nu-mi pasă deloc de împărțirea polinoamelor. Nu le-am folosit niciodată, dar voi preda cu plăcere împărțirea polinoamelor dacă este vorba despre o experiență de gândire.
Da, în clasele timpurii de matematică, adică vârstele de la 5 la 10, 11 ani, înveți matematica de care ai nevoie pentru viața de zi cu zi. Ai nevoie de un simț al fracțiilor, ai nevoie de un simț al numerelor. Dar dacă te gândești bine, cam asta e tot pentru viața de zi cu zi. Nu avem nevoie de 13 ani de educație matematică dacă singurul scop este să funcționăm ca adulți.
Știu, sună trist. Și la limba maternă avem elementele de bază, avem gramatica, hai să predăm acum poezia. Pentru că o oră de limbă nu este doar gramatică, este gramatica și literatura și povestea umană și poezia. Orele de matematică nu sunt nimic altceva decât gramatică.
Așa că spun, da, predă toate lucrurile de care avem nevoie pentru a fi un adult bun și echilibrat. Și restul este despre predarea gândirii. Și conținutul nu este de fapt important. Ar putea fi orice. Doar fă să fie despre experiență, „de unde știu ce cred că știu?”
Majoritatea programelor predau conținut de dragul predării conținutului. Inversează. Folosește conținutul ca un vehicul pentru predarea gândirii. Și poți.
Probabil o să fii într-un punct în care te simți total pierdut și asta te copleșește. Tragi aer adânc și găsești o intrare, un mic pas.
- Poți face o plimbare lungă.
- De fapt, de multe ori le spuneam elevilor mei – cred că l-am înnebunit pe șeful meu de departament – tema pentru acasă era: trebuie să ieși la o plimbare de 20 de minute și să nu te gândești la această problemă. Aceea era tema ta pentru acasă. Chiar o spuneam serios. Și invariabil, cineva a doua zi se întorcea spunând: „Am avut o idee”. Asta înseamnă să fii matematician.
„Matematica este o căutare umană creativă”
- Am o nepoată care este foarte pasionată de artă și nu prea îi place matematica, crede că e cam plictisitoare și rigidă. Cum îi pot explica de ce este matematica importantă, de fapt, pentru o fetiță de 9 ani?
- Oamenii fac matematică de cel puțin 30.000 de ani și asta îți spune ceva despre faptul că trebuie să fie ceva la mijloc. Dar are dreptate, oamenii nu au făcut matematică timp de 30.000 de ani pentru că le place să memoreze formule și să treacă teste. Deci experiența cu matematica școlară nu este experiența umană a matematicii. Așa că, numărul unu, nu te gândi că matematica pe care o experimentezi acum este tot ce există pe lume.
Dar apoi vine răspunsul oarecum abstract: de ce este importantă? Este cu adevărat procesul de predare a gândirii. Puterea matematicii este că poți vedea ce se întâmplă și s-ar putea să-i placă foarte mult o grilă de cinci pe cinci de pătrate și să se joace cu asta.
Poate nu o va recunoaște ca pe matematică școlară, ca și mine, dar procesul de a te juca cu asta, care pentru mine s-a simțit creativ și artistic în felul său, este mesajul că matematica este de fapt o căutare umană creativă care te învață cum să te joci, un mod în care poți apoi articula ce se întâmplă.
Aș spune așadar că matematica este importantă pentru că te învață cum să te joci, cum să știi ce te joci și cum să împărtășești acel joc cu ceilalți. Și apoi există matematica școlară, din păcate. Apoi sunt examenele, care nu sunt despre joacă.
- Cum s-a născut proiectul Global Math (Global Math Project)?
- Înapoi la povestea despre mine predând algebra polinoamelor pentru prima dată ca profesor de liceu. Unora dintre colegii mei le-a plăcut foarte mult abordarea vizuală pe care am avut-o și au spus „James, o să ducem asta în lume”.
Așa că, fiind îndrăzneț, am adunat alți șase colegi de-ai mei și am decis că vom crea acest lucru numit Proiectul Global Math. Fără bani, fără nimic, pe cont propriu. Am creat un site web, am făcut niște videoclipuri care explicau lecțiile, am scris niște materiale și am declarat că 10 octombrie va fi începutul Săptămânii Globale a Matematicii. Pur și simplu am inventat-o.
Ne-am întrebat când au toate țările școala în sesiuni? Voiam să fie global. Și ne-am dat seama că octombrie este luna cea mai probabilă în care fiecare școală din fiecare țară este în sesiune. Și noi cei șapte, am propus profesorilor din toată lumea ca în timpul Săptămânii Globale a Matematicii, pe care am inventat-o, să facă măcar o lecție de Puncte Explodante (Exploding Dots) cu elevii și s-o posteze pe social media.
Am avut norocul ca o companie din Canada să iubească această idee și a construit o aplicație web, așa că am putut număra participanții și ei se puteau înregistra. Îmi amintesc că la ora 11 dimineața într-o marți, stăteam singur acasă și am văzut click-ul pe acest site web al celor care făceau aceste lecții, schimbându-se la 1 milion.
Dintr-o dată, știam că un milion de elevi de pe această planetă făceau Puncte Explodante!
Eram singur și am plâns. Până la sfârșitul săptămânii, cred că 1,7 milioane de profesori și elevi făcuseră acest lucru. Așa că am făcut-o în fiecare an de atunci.
